Οι γρίφοι που εκδίδει κατά καιρούς η αμερικανική υπηρεσία ασφαλείας NSA (National Security Agency, Υπηρεσία Εθνικής Ασφάλειας) στοχεύουν αποκλειστικά στη βελτίωση της αναλυτικής σκέψης. Έχουμε ήδη λύσει τους δύο πρώτους και μπορείτε να βρείτε τα αντίστοιχα άρθρα μας στους παρακάτω συνδέσμους. Είναι σημαντικό να προσπαθείτε να λύσετε μόνοι σας το κάθε επίπεδο προτού μελετήσετε κάποια λύση όπως η δική μας. Παρακάτω ακολουθεί το τρίτο επίπεδο και εν συνεχεία η λύση μας.

Ο τρίτος γρίφος δημοσιεύτηκε από την NSA στις 15 Σεπτεμβρίου του 2015 από τον κύριο Τιμ Κ. ο οποίος εργάζεται ως μαθηματικός στο τμήμα Εφαρμοσμένης Έρευνας της αμερικανικής υπηρεσίας. Μπορείτε να διαβάσετε το γρίφο σε ελληνική απόδοση παρακάτω.

Η Αλίκη έχει μία δωδεκάδα από χαρτόκουτα, τοποθετημένα σε ένα πλέγμα 3×4, το οποίο για ευκολία του έχει βάλει ετικέτες από το γράμμα Α έως το γράμμα L:

Τυχαία επέλεξε δύο κουτιά και έκρυψε από ένα Πασχαλινό αυγό στο κάθε ένα, αφήνοντας τα υπόλοιπα δέκα κουτιά άδεια. Δίνει τη δωδεκάδα από τα χαρτόκουτα στον Μπομπ, ο οποίος τα ανοίγει με τη σειρά A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L μέχρι να βρει ένα από τα Πασχαλινά αυγά, και τότε σταματάει. Ο αριθμός των κουτιών που άνοιξε είναι η βαθμολογία του. Η Αλίκη σφραγίζει και πάλι τα κουτιά, αφήνοντας τα αυγά εκεί που ήταν, και παρουσιάζει τα κουτιά στον Κρις, ο οποίος τα ανοίγει με τη σειρά A, E, I, B, F, J, C, G, K, D, H, L, και πάλι σταματώντας με το που βρει ένα από τα Πασχαλινά αυγά, και βαθμολογώντας τον με όσα κουτιά άνοιξε. Όποιος έχει τη χαμηλότερη βαθμολογία κερδίζει το παιχνίδι. Εάν έχουν την ίδια βαθμολογία είναι ισοπαλία.

Για παράδειγμα, έστω ότι η Αλίκη έκρυψε τα Πασχαλινά αυγά στα κουτιά H και K. Τότε ο Μπομπ θα σταματήσει όταν θα βρει το αυγό στο κουτί H και θα έχει βαθμολογία 8, ενώ ο Κρις θα σταματήσει όταν θα βρει το αυγό στο κουτί Κ και θα έχει βαθμολογία 9. Άρα ο Μπομπ κερδίζει σε αυτή τη περίπτωση.

Ποιος είναι πιθανότερο να κερδίσει το παιχνίδι, ο Μπομπ ή ο Κρις; Ή έχουν ίδιες πιθανότητες να κερδίσουν;

Αυτό που μας ρωτάει το παιχνίδι είναι εάν οι πιθανότητες είναι καλύτερες όταν ανοίγουμε όλα τα κουτιά από τα αριστερά προς τα δεξιά (Μπομπ), ή αν είναι καλύτερα από επάνω προς τα κάτω (Κρις). Το πιο εύκολο είναι να δούμε αρχικά ποιος από τους δύο θα ανοίξει πρώτος τα περισσότερα κουτιά. Βλέπετε παρακάτω πως θα ανοίξει τα κουτιά ο Μπομπ και ο Κρις αντίστοιχα.

Από το παραπάνω είναι ξεκάθαρο ότι εάν τα αυγά είναι στη θέση 1 ή 12 τότε και οι δύο έχουν ακριβώς τις ίδιες πιθανότητες. Οπότε, οι πιθανότητες να ανοίξει κάποιος πρώτος ένα κουτί είναι κάπως έτσι (με δεδομένη τη σειρά που δείξαμε παραπάνω).

Μπομπ: 2 3 4 7 8
Κρις : 2 3 5 6 9

 
Όπως βλέπουμε και οι δύο έχουν ίδιες πιθανότητες. Εάν η Αλίκη έχει βάλει τα αυγά στα κουτιά B, C, D, G, ή H, τότε ξεκάθαρα θα κερδίσει ο Μπομπ. Αντίστοιχα όμως εάν η Αλίκη βάλει τα αυγά στα κουτιά E, I, F, J, ή K, τότε σίγουρα θα κερδίσει ο Κρις καθώς θα τα ανοίξει πρώτος. Οπότε σε αυτές τις περιπτώσεις έχουν ακριβώς ίδιες πιθανότητες. Οπότε οι μοναδικές περιπτώσεις που μπορούμε να μελετήσουμε είναι εάν ένα αυγό είναι στα κουτιά του Μπομπ και ένα στα κουτιά του Κρις. Τότε οι πιθανότητες αλλάζουν. Ο Μπομπ θα κερδίσει εάν γίνει κάτι από τα ακόλουθα.

• Κουτί B και (I ή F ή J ή K)
• Κουτί C και (F ή J ή K)
• Κουτί D και (F ή J ή K)
• Κουτί G και K
• Κουτί H και K

Αυτό σημαίνει ότι ο Μπομπ έχει 12 πιθανούς συνδυασμούς που μπορούν να τον οδηγήσουν στο να αποκαλύψει τα αυγά πριν από τον Κρις. Εάν κάνουμε το ίδιο ακριβώς για τον Κρις μπορούμε να συγκρίνουμε τις πιθανότητες. Ας δούμε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς με ένα αυγό στα κουτιά του Μπομπ και ένα στου Κρις που θα οδηγήσει τον Κρις να τα βρει πρώτος.

• Κουτί E και (C ή D ή G ή H)
• Κουτί I και (D ή G ή H)
• Κουτί F και (G ή H)
• Κουτί J και (G ή H)

Βάσει του παραπάνω, βλέπουμε ότι συνολικά ο Κρις έχει 11 πιθανούς συνδυασμούς που θα τον οδηγήσουν να βρει πρώτος τα αυγά. Αυτό σημαίνει ότι ο Μπομπ έχει περισσότερες πιθανότητες (12 για την ακρίβεια) και κατ’επέκταση είναι αυτός που είναι πιθανότερο να κερδίσει.